Puede suprimir fácilmente la salida de cualquier cronjob redirigiendo la salida a /dev/null. Puede hacer esto agregando >/dev/null 2>&1 al cronjob, para el cual desea suprimir la salida.
0 2 * * * /home/backup.sh >/dev/null 2>&1
- >/dev/null le dice al cron que envíe todos los resultados (STDOUT) a /dev/null
- El 2>@1 le dice al cron que envíe todos los errores (STDERR) al mismo lugar que (STDOUT)